Diracのデルタ関数のsinc関数による表示

文責：たいち

概要

本記事では、デルタ関数のsinc関数による表示
$$ \delta(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sin{nx}}{\pi x} $$
をフーリエ変換を用いて示す。ただし、数学的には厳密とは言えない方法により示すので注意していただきたい。

数学的準備

• フーリエ変換の式
  関数 \( f(x) \) のフーリエ変換は次の式で与えられる。ここで、フーリエ変換の係数は様々な流派があるが、本記事ではフーリエ変換、逆フーリエ変換で両方とも \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \) とする。
  \begin{align}
  \mathscr{F}[f(x)] & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-ikx}\text{d}x\\\mathscr{F}^{-1}[f(x)] & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{ikx}\text{d}x
  \end{align}
• デルタ関数
  デルタ関数のフーリエ変換はデルタ関数の性質 \( \int_{-\infty}^{\infty}\delta (x)f(x)\text{d}x=f(0) \) から$$\mathscr{F}[\delta (x)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$
  さらに、上の結果から定数関数f(x)=1のフーリエ変換は
  $$\mathscr{F}[1]=\sqrt{2\pi}\delta (k)となる。$$
• 三角関数の複素数への拡張
  三角関数の複素数への拡張はオイラーの公式 \( e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} \)から、
  $$\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}　　　\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

方針

示したい式 \( \delta(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sin{nx}}{\pi x} \) は、超関数であるデルタ関数を関数の極限で表したものである。関数 \( f(x)=1 \) のフーリエ変換がデルタ関数の定数倍になっていることから、何らかの絶対可積分関数の極限により、 関数 \( f(x)=1 \) のフーリエ変換を表すことを考える。そこで、まず関数 \( g(x) \) を次のように定義する。
$$g(x)=\begin{cases}1 & (-L<x<L)\\0 & (x\leq -L,L\leq x)\end{cases}$$
そして、この関数の定義域 \( L \) の極限 \( L\rightarrow\infty \) において \( g(x) \) は \( f(x) \) となると考えて、 \( \lim_{L\rightarrow{\infty}}\mathscr{F}[g(x)]=\mathscr{F}[f(x)] \) により式を示す。

計算

始めに上で定義した関数 \( g(x) \) のフーリエ変換を計算する。
\begin{align}
\mathscr{F}[g(x)]
& =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{-ikx}\text{d}x\\
& =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-L}0\cdot e^{-ikx}\text{d}x+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-L}^{L}1\cdot e^{-ikx}\text{d}x+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{L}^{\infty}0\cdot e^{-ikx}\text{d}x\\
& = 0 +\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-L}^{L}e^{-ikx}\text{d}x +0\\
& =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[\frac{1}{-ik}e^{-ikx}\right]_{-L}^{L}\\
& =\frac{1}{-ik\sqrt{2\pi}}\left(e^{-ikL}-e^{ikL}\right)\\
& =\frac{\sqrt{2\pi}}{k\pi}\frac{e^{ikL}-e^{-ikL}}{2i}\\
& =\frac{\sqrt{2\pi}\sin{kL}}{k\pi}　\left(\because \sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)\\
\therefore 　& \mathscr{F}[g(x)] =\frac{\sqrt{2\pi}\sin{Lk}}{\pi k}
\end{align}
ここで \( g(x) \) は定義より \( -L<x<L \) で \( 1 \) なので、極限 \( L\rightarrow\infty \) では \( -\infty<x<\infty \) で \( 1 \) 、すなわち \( g(x)=1 \)となる。また、 \( \mathscr{F}[1]=\sqrt{2\pi}\delta(k) \) より以下の等式が成立する。
$$\lim_{L\rightarrow\infty}\sqrt{2\pi}\frac{\sin{Lk}}{\pi k}=\sqrt{2\pi}\delta(k)$$
両辺 \( \sqrt{2\pi} \) で割って変数変換 \( (k\rightarrow x) \) 及び文字の変更 \( (L\rightarrow n) \) をすると、
$$\delta(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin{nx}}{\pi x}　　　\blacksquare$$

まとめ

以上より、 \( f(x)=1 \) を2通りで表してフーリエ変換した結果を比較することによりデルタ関数を関数の極限として表すことができた。
$$\delta(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin{nx}}{\pi x}$$